Tout ce que tu dois savoir pour le brevet en maths

I. Distributivité de la multiplication sur l'addition
Pour tous réels a,b et k
k x (a + b)=k x a + k x b
• Pour développer le produit k x (a+b) , je le remplace par la somme k x a + k x b
• Pour factoriser la somme k x a + k x b, je la remplace par le produit k x (a+b)
Vocabulaire :
• On appelle facteur l'un des éléments d'un produit.
• On appelle terme l'un des éléments d'une somme
• Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.
• Développer, c'est transformer un produit en somme.

II. Développer
k (a + b) = k a + k b
Exemple :
2(a + 1) = 2 x a + 2 x 1
k (a – b) = k a – k b
Exemple :
3( a - 2) = 3 x a – 3 x 2
(a + b) (c + d) = ac +ad + bc + bd
Exemple :
(a + 1) (a + 2)
= a2 + 2a + a + 2
= a2 + 3a + 2
(a + b) (c - d) = ac – ad + bc - bd
Exemple :
(a + 1) (a - 2)
= a2 – 2a + a - 2
= a2 - a - 2.

III. Factoriser
Exemple :
2a + a² = 2 x a + a x a
a est un facteur commun à 2a et à a2,
donc : 2a + a² = a (2 + a).
Exemple :
4 + 8a = 4 x 1+4 x 2a
4 est le facteur commun à 4 et à 8a;
donc: 4 + 8a=4 x 1 + 4 x 2a = 4 (1 + 2a)

IV. Identités remarquables
Carré d'une somme
• (a + b)² = a² + 2 ab + b²
Exemple de développement
(2a + 5)²
= (2a)² + 2 x 2a x 5 +5²
= 4a² + 20 a +25
a² + 12 a +36
Exemple de factorisation
= a² + 2 x a x 6 +6²
= (a+6)²
Carré d'une différence
• (a – b)² = a² - 2ab + b²
Exemple de développement
(3a – 4)²
= (3a)² - 2 x 3a x 4 + 4²
= 9a² - 24 a + 16
25a2 – 10a + 1
Exemple de factorisation
= (5a)²-2 x 5a x 1+1²
= (5a - 1)²
Différence de deux carrés
• (a + b) (a – b) = a² - b²
Exemple de développement
(2a + 3) (2a – 3)
= (2a)² - 6a + 6a - 9
= (2a)² - 9
= (2a)² - 3²
9a² - 16
Exemple de factorisation
= (3a)² - 4²
= (3a + 4) (3a - 4)

V. Exercice d'application
Enoncé
Développer et réduire A = (a - 5)² - (3a + 2) (a - 1).
Développer et réduire B = (a - 2) (5a - 3) + 3(a - 2)².
Correction:
A = (a - 5)² - (3a + 2) (a - 1)
Le premier terme (a - 5)² est le carré d'une différence, on le
développe donc en utilisant l'identité remarquable :
(a – b)² = a² - 2ab + b²
Le deuxième terme est précédé d'un signe « - » donc on le
développe en le laissant entre des parenthèses.
A = a² - 10a + 25 - (3a² + 2a - 3a - 2)
A =a² - 10a + 25 – 3a² - 2a + 3a + 2
A = a² - 3a² - 10a – 2a + 3a + 25 + 2
A = -2a² - 9a + 27
On remarque que le premier facteur (a - 2) est le facteur commun :
B = (a - 2) (5a - 3) + 3(a - 2)²
B = (a -2) (5a - 3) + 3(a - 2) (a - 2)
B = (a - 2) [(5a - 3) + 3(a - 2) ]
B = (a - 2) (5a - 3 + 3a - 6)
B = (a - 2) (8a - 9)

I. Fonctions linéaires
Définition
On définit une fonction linéaire en associant à un nombre x, le nombre a x x .
Vocabulaire
La fonction linéaire f est définie par : f (x) = a x x.
On écrit aussi : la fonction linéaire f est définie par f : x-->ax .
f (x) se lit « f de x », f (x) est appelé l'image de x.
a est appelé le coefficient de la fonction linéaire.
Représentation graphique
La représentation graphique d' une fonction linéaire définie par f (x) = ax est une droite passant par l'origine. Cette droite a pour équation : y = ax . a est le coefficient directeur de la droite.

II. Fonctions affines
Définition
On définit une fonction affine en associant à un nombre x, le nombre a x x + b.
Vocabulaire
La fonction affine f est définie par : f (x) = a x x + b.
On écrit : la fonction affine f est définie par f : x-->ax + b
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine définie par f (x) = ax + b est une droite. Cette droite a pour équation :y = ax + b. a est le coefficient directeur de la droite, et b l'ordonnée à l'origine.

III. Exemples
Soit f , la fonction affine définie par f (x) = 3x – 2.
Images d'un nombre
image de 1 : f (1) = 3 x 1 – 2 = 1 d'où : f (1) = 1
de même f (0) = 3 x 0 – 2 = -2 et f (-5) = 3 x (–5) – 2 = -17
Recherche d'un nombre
recherche du nombre dont l'image est 4.
f (x) = 4 donc 3x – 2 = 4 soit 3x = 6 d'où x = 2
Représentation graphique
• La représentation graphique de cette fonction affine est la droite d'équation : y = 3x – 2 .
• Dans un repère orthonormé, je trace la droite passant par ces trois points : A (1 ;1) B (2 ;4) et C (0 ;-2).

IV. Exercices
Application aux pourcentages
Augmentation
En appuyant sur une touche, on augmente la vitesse d'un bolide de 20%. Déterminons la fonction affine qui fait passer de la vitesse initiale à la vitesse finale puis calculons la nouvelle vitesse du bolide si sa vitesse initiale est 180 km/h.
Soit v, la vitesse initiale, f (v) est la vitesse finale :
• f (v) = v + 20/100 x v = v + 0,2 v = 1,2 v (f est en fait une application linéaire)
• v = 180 , f (180) = 1,2 x 180 = 216
Conclusion :
La vitesse finale du bolide est 216 km/h.
Réduction
Pour les soldes, on offre une réduction de 25%, déterminons la fonction affine qui permet de trouver la réduction, et le prix soldé.
Soit p, le prix initial, f (p) est la réduction et g (p) est le prix réduit.
f (p) = 25/100 x p = 0,25 p
g (p) = p – 25/100 x p = p – 0,25 p = 0,75 p

I. Sphère et boule section par un plan
O est un point dans l'espace et R un nombre positif.
Définitions :
• La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance de O égale à R.
• La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance de O inférieure ou égale à R.
Vocabulaire :
• Un « grand cercle » d'une sphère de centre O et rayon R est un cercle de centre O et de rayon R.
• Deux points d'une sphère sont diamétralement opposés si le centre de la sphère est le milieu de ces deux points.
• L'aire d'une sphère de rayon R est égale à 4 Pi R².
• Le volume d'une boule de rayon R est égal à 4 /3 Pi R³.

II. Section par un plan
• En coupant une sphère par un plan, on obtient un cercle.
• La section d'une sphère par un plan est un cercle.
• La section d'un cube ou d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.
• La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle.
• La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle.

III. Propriétés
• Si au cours d'un agrandissement ou d'une réduction, toutes les dimensions d'une figure sont multipliées par le même nombre k, les aires sont multipliées par k ² et les volumes sont multipliés par k³.
• La section d'une pyramide (ou d'un cône de révolution) par un plan parallèle à la base est une réduction de la pyramide (ou du cône).
• La petite pyramide et le petit cône obtenus sont des réductions de la pyramide et du cône sélectionnés. Le rapport de réduction k est égal au quotient d'une longueur de la petite pyramide ou cône par la longueur correspondante de la pyramide ou du cône de départ.

IV. Formules
Aires
• Aire d'un triangle :
A = 1/2 x (coté x hauteur correspondante)
• Aire d'un disque de rayon R :
A = Pi x R² = Pi x R x R
Volumes
• Volume d'un prisme ou d'un cylindre :
V = aire de la base x hauteur
• Volume d'une pyramide ou d'un cône :
V =1/3 x aire de la base x hauteur
• Volume d'une sphère de rayon R :
V = 4/3 x Pi x R x R x R
V = 4/3 Pi R³

V. Exercice d'application
Enoncé
Calculer la quantité de peinture nécessaire pour recouvrir une cuve formée par un cylindre de diamètre 1 ,5 m et de hauteur 3 m complété à ses extrémités par deux demi-sphères de diamètre 1,5 m, sachant que 1litre de peinture couvre 8 m ².
Correction
Pour déterminer la quantité de peinture nécessaire pour recouvrir la cuve , il faut calculer l'aire totale de la cuve.
Aire latérale du cylindre, en m ² :
2 x Pi x 0,75 x 3 = 4,5 x Pi
Aire des deux demi-sphères, en m ² :
A = 2 x 2 x Pi x 0,75² = 2,25 x Pi
Aire totale de la cuve , en m ² :
A= 4,5 Pi + 2,25 Pi = 6,75 Pi
A = 21,2 m ²
Volume de peinture :
V = 21,2 / 8
V = 2,65 L
Conclusion
La quantité de peinture nécessaire est d'environ 2,65 litres.